transformaciones de funciones usando Geogebra (por Cecilia Fochesatto)

Utilización de Geogebra en el aula

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

Objetivos:

v  Conocer las transformaciones de una función:

§  Traslación(desplazamientos)

§  Reflexión

§  Expansión-Compresión

v  Describir las transformaciones de una función.

v  Bosquejar la gráfica de una función.

v  Reconocer la fórmula de  la función representada gráficamente.

 

Desarrollo:

Desde geometría plana se conoce la propiedad de las figuras de poder desplazarse manteniendo su forma y tamaño, misma situación que ocurre con las gráficas de las funciones, cuando se mueven en el plano cartesiano.

 

Las transformaciones de la gráfica de una función ocurren cuando ésta se desplaza en el plano o se refleja con relación a una recta. El desplazamiento o reflexión produce un cambio en la regla de correspondencia de la función, transformándola a otra que contiene valores constantes que se identifican con el nombre de parámetros.

 

Las transformaciones de una función afectan su gráfica. Algunas transformaciones son DEZPLAZAMIENTOS, REFLEXIÓN y EXPANSIÓN-COMPRESIÓN.

Aquí vamos a analizar, a partir del uso de la computadora  cómo se puede enseñar con mayor facilidad y en menor tiempo a representar la gráfica de cualquier función obtenida a partir de aplicar ciertas transformaciones a una f(x) dada.

Comúnmente en el aula se enseñan las transformaciones de funciones mediante el uso de tablas de valores aplicadas a cierto ejemplo, y luego se formaliza, lo que demanda de mucho tiempo y a veces los alumnos se dispersan al no ver en un acotado tiempo los resultados. La utilización de Geogebra mediante el uso de la computadora los hace sentir en su ambiente, recordemos que nuestros alumnos son nativos digitales, y les permite sacar conclusiones en un corto plazo.

Duración de Clase estimada: 80 minutos.

Alumnos de aplicación: 3° Año.

Aclaración: en adelante consideraremos que la gráfica realizada en color verde es la gráfica a la que se le aplican las transformaciones.


Dejo un video instructivo que enseña a graficar en GEOGEBRA 

Representación de y = f(x ) + K  a partir de f(x).Traslación vertical

Aquí vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = f(x) + K, siendo K un número real cualquiera (positivo o negativo).

 

Como es posible observar si K es positivo (K>0), la gráfica se desplaza verticalmente hacia arriba K unidades y si K es negativo (K<0) hacia abajo. Es decir, estamos haciendo una traslación vertical, de tal modo que todos los puntos de la gráfica aumentan o disminuyen su ordenada en K unidades.

Es importante destacar que la función transformada no ha variado de forma, es una función que tiene la misma forma que la original, pero que se ha desplazado verticalmente.

Veamos un ejemplo:

Representación de y = f(x ± K)  a partir de f(x).Traslación Horizontal

Aquí vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = f(x ±K) , siendo K un número real positivo.

Supongamos que K > 0.

 

Como se puede observar si K suma ,la gráfica se desplaza horizontalmente hacia la izquierda K unidades y si K resta la gráfica se desplaza horizontalmente hacia la derecha K unidades. Es decir, estamos haciendo una traslación horizontal, de tal modo que todos los puntos de la gráfica aumentan o disminuyen su abscisa en K unidades.

Es importante destacar que la función transformada no ha variado de forma, es una función que tiene la misma forma que la original, pero que se ha desplazado horizontalmente.

Veamos un ejemplo:

 

 

Representación  de K.f(x) y f(K.x), EXPANSIÓN Y COMPRESIÓN 

 

 

Al multiplicar la imagen de la función f(x) por un factor K o su dominio se producen algunas de las siguientes transformaciones: Expansión y Compresión.

Ambas transformaciones van a depender del valor de K, es decir si 0<K<1 ó K>1.

 

Caso 1) K.f(x), (las imágenes de f(x) se multiplican en un factor K):

Si 0<K<1 se produce una expansión vertical.

Si K>1 se produce una compresión Vertical.

 Es importante notar que si bien la forma de la función matriz cambia, no así sus raíces.

 

Caso 2) f(K.x),(las abscisas de f(x) se multiplican por un factor K)

Si 0<K<1 se produce una compresión horizontal

Si K>1 se produce una Expansión Horizontal.

 

 Es importante notar que si bien la forma de la función matriz cambia, no así sus raíces.

 

 Reflexión respecto de los ejes:

La ecuación de una función f(x) puede ser transformada cuando introducimos en ella el signo “menos”. Hay dos formas de introducir el signo menos en la regla de correspondencia de una función:

 

Caso 1) Reflejo Vertical: cuando cambiamos f(x) por f(-x).

En este caso la función f(x) se refleja con respecto al eje y (efecto equivalente a que el eje "y" fuese un espejo).

 

Las gráficas resultan simétricos respecto al eje y.

 

Caso 2) Reflejo Horizontal: Cambiamos f(x) por -f(x)

En este caso la función f(x) se refleja respecto al eje x.

 

Las gráficas resultan simétricas respecto al eje x.

 

A continuación se le puede proponer a los alumnos realizar algunos casos combinados con ejemplos y extraer conclusiones de ellos.

 

Aclaración: Las conclusiones serán formalizadas de forma escrita por el docente una clase posterior.